Вычисление и преобразование выражений (корни, степени, логарифмы, тригонометрические выражения).

1. Вычислите: а) ; б) (64)^{–2/3 ;} в) log₃₀5 + log₃₀6;

г) lg 0,01 – lg 0,0001.

2. Найдите значение выражения , если lg a = – 4.

3. Найдите значение выражения log₄ a, если log₄ a³ = 6.

4. По заданному значению функции sin α = – 0,28 , π < α < 3π/2 найдите значения остальных тригонометрических функций.

5. Представьте выражение в виде степени с основанием b:

а) b^{4 :} b ^–1/4 ; б) b^{– 9/5} : b ^3/5.

6. Упростите: а) в) г)

д)

7. Упростите:

а) sin ⁴ α + cos ² α ∙ sin ² α; б) 1 – sin ² t; в) cos ² t – 1;

г) (1 – cos t) (1 + cos t); д) sin t ∙ cos t ∙ ctg t – 1;

е) cos ² t ∙ tg ² t – sin ² t ∙ cos ² t; ж) 6 cos ² t – 2 + 6 sin ² t.

Уравнения и неравенства (показательные, логарифмические, тригонометрические).

1. Решите уравнения:

а) (1/6) ^{4х – 7} = 36 ^{х – 3}; б) (1/5)^х =25√5; в) cos x + 2,5 = 1,5; г) 2 sin x = 2;

д) log_1/4 (2x – 6) = – 1; lg (x² – 6) = lg (8 + 5x).

2.Решите неравенства :

а) 3^х < 81; б) 36 ^{2х – 1} < 6; в) (2/3) ^{3х + 6} > 4/9; г) log ₅ x > log ₅ (3x – 4); д) log _0,2 x < 3; е) log _2/5 (3x + 7) > 0.

Функции, их свойства и графики.

3. Функция задана графиком. Укажите: а) D(f); б) E(f).

4. Для функции y = log _b x: а) найдите D(y); б) при каких значениях b функция убывает (возрастает)?

5. Для функций: а) y = log₂ x; б) y = log _3,5 (x + 1); в) y = log _0,5 (x – 2) найдите:

а) D(y); б) E(y); в) промежутки возрастания и (или) убывания.

6. Для функции у = 3^х – 1 найдите: а) область определения;

б) множество значений.

Производная, первообразная, интеграл.

Применение производной и интеграла.

1. Найдите производную функции:

а) y = cos x – 2x⁵; б) y = 13x² + 1/2x⁴; в) y = (8x² + x⁵)(3x³ – x²);

г) у = х√х⁴.

2. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции у = 2х² в его точке с абсциссой х₀ = –1.

3. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = 1/3х³ в его точке с абсциссой х = – 1.

4. Функция f(x) возрастает на промежутках (– 5; –2) и (6;10) и убывает на промежутке (– 2;6). Укажите промежутки, на которых производная функции: f '(x) > 0; f '(x) < 0.

5. Найдите множество первообразных функции:

а) f(x) = 5х – cos x; б) f(x) = 4x³ + 2x; в) f(x) = –1/2x + 8.

6. Вычислите интеграл: а) б) в)

7. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х², у = 0,

х = 4.

Прямые и плоскости в пространстве. Геометрические тела, их объемы и площади поверхностей.

1. Точки А и В расположены на ребрах одной грани четырехугольной пирамиды и призмы. Сделайте чертеж, отметьте и обозначьте точки, в которых прямая АВ пересекает прямые, содержащие другие ребра пирамиды и призмы.

2. Изобразите тетраэдр DABC и на ребрах DB, DC, ВC отметьте соответственно точки M, N и K. Постройте точку пересечения: а) прямой и MN плоскости АВС; б) прямой KN и плоскости ABD.

3. Вычислите объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 4 см и прилежащим углом 60º вокруг другого катета.

4. Найдите объем цилиндра, если радиус его равен 5 см, а высота – 10 см. Найдите площадь его боковой поверхности.

5. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник, диагональ которого составляет с плоскостью основания угол 45º. Вычислите объем цилиндра и площадь его поверхности.

6. Найдите объем куба, если его ребро равно 5 см.

7. Найдите площадь полной поверхности куба, если диагональ его грани равна 4см.